13.10 Означення та властивості степеня з раціональним показником

Трохи теорії

Поняття степеня з раціональним показником

Теорія:

Вираз amn означає корінь, показник якого дорівнює знаменнику n дробу mn, а

показник степеня підкореневого числа дорівнює чисельнику m дробу mn, тобто amn=am−−−√n.

 

Наприклад:

 

1112=11−−√,289=28−−√9,t5−−√=t52

Приклад:

1. Обчисли:  3215

 

Розв'язання

 

3215=32−−√5=2

 

2. Обчисли: (−27)13

Розв'язання

 

Степінь із дробовим показником для випадку від'ємної основи не має змісту.

Зверни увагу!

Слід звернути увагу на те, що основа не може бути від'ємним числом, а показник степеня може бути як додатним, так і від'ємним.

Приклад:

Порівняємо два рівняння.

1. Розв'яжи рівняння: y2−−√3=1

Розв'язання

 

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

 

y2=1y1,2=±1

Відповідь: −1;1

 

2. Розв'яжи рівняння: y23=1

Розв'язання

 

Основа y повинна бути невід'ємною, тому вона підноситься до дробового степеня.

Отже, зі знайдених вище двох значень y коренем рівняння є лише значення y=1.

Відповідь: 1

Якщо pq — звичайний дріб, де q≠1 і a>0, то під a−pq розуміють 1apq.

a−pq=1apq

 7−12=1712=17–√

Властивості степеня з раціональним показником

Теорія:

Якщо a>0,b>0, s і t — довільні раціональні числа, то правильні такі властивості:
 

as⋅ar=as+ras:ar=as−r(as)r=as⋅r(a⋅b)s=as⋅bs(ab)s=asbs 

Приклад:

1. Спрости: 

x27⋅x35

Розв'язання
 

x27⋅x35=x27+35=x1035+2135=x10+2135=x3135
 

2. Спрости:

(z12)35  

 

Розв'язання
 

(z12)35=z12⋅35=z1⋅32⋅5=z310

 

3. Спрости: 

 

(u15+v15)2−2uv−−√5−1(v–√5)−2

Розв'язання

  

Розкриємо дужки за формулою скороченого множення:

 

(u15+v15)2=(u15)2+2⋅u15⋅v15+(v15)2=u15⋅2+2u15v15+v15⋅2==u25+2u15v15+v25

 

Запишемо корінь 5 степеня у вигляді степеня і застосуємо властивість степеня добутку:

 

2uv−−√5=2⋅(uv)15=2⋅u15⋅v15=2u15v15

 

Перетворимо вираз:

 

1(v–√5)−2=(v–√5)2=(v15)2=v15⋅2=v25

 

Підставимо знайдені значення в початковий вираз і зведемо подібні доданки:
 

(u15+v15)2−2uv−−√5−1(v√5)−2=(u25+2u15v15+v25)−2u15v15−v25==u25+2u15v15+v25−2u15v15−v25=u25

ПІДРУЧНИК (ВИКОРИСТАННЯ ПЛАНШЕТУ НА УРОЦІ)